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2021考研数学:线性代数专项辅导
考研数学用书2021-渐进式讲解-突出重点-不留盲点

 

商城价12.60 今日促销
定 价¥28.00
作 者中公教育研究生考试研究院
出版时间2020/3/1
出版社世界图书出版公司
ISBN9787519212506
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作 者:中公教育研究生考试研究院
出版社:世界图书出版公司
出版时间:2020/3/1
版 次:1
装 帧:平装
开  本:16开
ISBN:9787519212506
  商品介绍

    《中公版·2021考研数学:线性代数专项辅导》是针对参加2021年考研数学的考生编写的一本专项图书,书中包含了考研数学大纲规定的线性代数的全部考点。
全书共分六章,每章包含六个模块。【学习提要】和【考试要求】简单分析了本章知识点与其他章节之间的联系以及考试大纲对各考点的具体要求。【本章知识框架图】再现了本章知识网络。【基础知识讲解】以浅显的角度切入,详细地讲解了本章涉及的基本概念、重要定理和性质,部分核心考点附有二维码,考生扫码可以听微课。【典型例题与方法技巧】对各考点涉及的题型做了细致的分类。【本章同步练习题】与“同步练习题答案解析”相配套,筛选了适量习题,供考生自测学习效果,个别题目附有二维码,考生扫码可听题目视频讲解。

  目录

第一章行列式
考试要求
本章知识框架图
基础知识讲解
一、行列式的概念
二、行列式的性质
三、行列式的计算
典型例题与方法技巧
本章同步练习题
一、选择题
二、填空题
三、解答题
同步练习题答案解析
第二章矩阵
学习提要
考试要求
本章知识框架图
基础知识讲解
一、矩阵及其运算
二、逆矩阵及其运算
三、等价矩阵及矩阵的秩
四、分块矩阵及其运算
典型例题与方法技巧
一、矩阵及其运算
二、逆矩阵及其运算
三、初等变换及矩阵的秩
四、分块矩阵及其运算
本章同步练习题
一、选择题
二、填空题
三、解答题
同步练习题答案解析
第三章向量
疤嵋?
考试要求
本章知识框架图
基础知识讲解
一、向量组的相关知识
二、向量空间的相关知识
典型例题与方法技巧
一、向量组的相关问题
二、向量空间的相关问题
本章同步练习题
一、选择题
二、填空题
三、解答题
同步练习题答案解析
第四章线性方程组
疤嵋?
考试要求
本章知识框架图
基础知识讲解
一、齐次线性方程组
二、非齐次线性方程组
典型例题与方法技巧
一、齐次线性方程组
二、非齐次线性方程组
本章同步练习题
一、选择题
二、填空题
三、解答题
同步练习题答案解析
第五章矩阵的特征值和特征向量
疤嵋?
考试要求
本章知识框架图
基础知识讲解
一、特征值和特征向量
二、可相似对角化
三、实对称矩阵
典型例题与方法技巧
一、特征值和特征向量
二、可相似对角化
三、实对称矩阵
本章同步练习题
一、选择题
二、填空题
三、解答题
同步练习题答案解析
第六章二次型
学习提要
考试要求
本章知识框架图
基础知识讲解
一、二次型及其标准形
二、正定二次型
典型例题与方法技巧
一、二次型及其标准形
二、正定二次型
本章同步练习题
一、选择题
二、填空题
三、解答题
同步练习题答案解析

  编辑推荐

    《中公版·2021考研数学:线性代数专项辅导》具有以下几大特色。
一、扫描二维码,与老师面对面。
本书在“基础知识讲解”部分针对部分核心考点配有二维码,“本章同步练习题”中部分题目也附有二维码,考生扫码即可观看相关考点和题目的视频讲解。助考生告别无声读书的时代。
二、“渐进式”讲解;突出重点,不留盲点。
本书的“基础知识讲解”从浅显的角度切入,详细讲述了各章的基础知识,并为易混易错的考点设置了“注”,对其作进一步的解释。
三、扫码上自习,轻松又智能
购书享有研究生考试自习室多样增值服务,考生可利用碎片化时间,随时随地上自习,体验智能时代学习的快捷。

  文摘

行列式作为线性代数的基础,对于考生解决考研试题中线性代数部分的题目至关重要。本章节的知识点在考试过程中一般不会被直接考查,但它与后续章节的联系非常紧密,因此涉及本章知识点的考题综合性很强,出现形式以选择题为主。在解题过程中除了要用到行列式常见的性质外,更需要结合矩阵、向量和特征值等相关知识点,所以对考生综合能力要求较高。考生需要有扎实的基础,不仅要理解行列式的概念,还要牢固掌握行列式的性质,更要懂得如何应用行列式的性质和行列式按行(列)展开定理计算行列式。
1.了解行列式的概念,掌握行列式的性质。
2.会应用行列式的性质和行列式按行(列)展开定理计算行列式。
一、行列式的概念
(一)二阶行列式的概念
设有4个数排成两行两列(横排称行,竖排称列)的数表
a11a12
a21a22,
表达式a11a22-a12a21称为上表确定的二阶行列式,并记作a11a12a21a22。
(二)三阶行列式的概念
设有9个数排成3行3列的数表
a11a12a13
a21a22a23
a31a32a33,(1)
记a11a12a13
a21a22a23
a31a32a33=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31,
(2)
则(2)式称为数表(1)确定的三阶行列式。
(三)n阶行列式的相关概念
1.逆序数的概念
设n个元素为1到n这n个自然数,并规定由小到大为标准次序。设p1p2…pn为这n个自然数的一个排列,考虑元素pi(i=1,2,…,n),如果比pi大的且排在pi前面的元素有ti个,则称关于pi这个元素的逆序数是ti,全体元素的逆序数之和为
t=t1+t2+…+tn=∑ni=1ti,
即这个排列的逆序数。
逆序数为奇数的排列叫作奇排列,逆序数为偶数的排列叫作偶排列。
视频讲解
2.n阶行列式的概念
设有n2个数,排成n行n列的数表
a11a12…a1n
a21a22…a2n

an1an2…ann,
找出表中位于不同行不同列的n个数的乘积,并冠以符号(-1)t,得到形如
(-1)ta1p1a2p2…anpn(3)
的项,其中p1p2…pn为自然数1,2,…,n的一个排列,t为这个排列的逆序数,由于这样的排列共有n!个,因而形如(3)式的项共有n!个,所有这n!项的代数和
∑(-1)ta1p1a2p2…anpn
称为n阶行列式,记作
D=
a11a12…a1n
a21a22…a2n

an1an2…ann,
简记为det(aij),其中数aij为行列式D的第i行第j列元素,或称其为(i,j)元。
3.余子式与代数余子式的概念
在n阶行列式中,把(i,j)元aij所在的第i行和第j列划去后,留下来的n-1阶行列式叫作(i,j)元aij的余子式,记作Mij;记Aij=(-1)i+jMij,Aij叫作(i,j)元aij的代数余子式。
4.转置行列式的概念
记D=a11a12…a1n
a21a22…a2n

an1an2…ann
,DT=
a11a21…an1
a12a22…an2

a1na2n…ann,
行列式DT称为行列式D的转置行列式。
二、行列式的性质
视频讲解
性质1行列式与它的转置行列式相等。
性质2互换行列式的两行(列),行列式变号。
推论如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式等于零。
性质3行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k,等于用数k乘此行列式。
推论行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面。
性质4行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式等于零。
性质5若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和,例如第i列的元素都是两数之和:
D=a11a12…(a1i+a′1i)…a1n
a21a22…(a2i+a′2i)…a2n

an1an2…(ani+a′ni)…ann

则D等于下列两个行列式之和
D=a11a12…a1i…a1n
a21a22…a2i…a2n

an1an2…ani…ann
+
a11a12…a′1i…a1n
a21a22…a′2i…a2n

an1an2…a′ni…ann

性质6把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去,行列式不变。
例如以数k乘第j列加到第i列上(记作ci+kcj),有
a11…a1i…a1j…a1n
a21…a2i…a2j…a2n

an1…ani…anj…annci+kcj
a11…(a1i+ka1j)…a1j…a1n
a21…(a2i+ka2j)…a2j…a2n

an1…(ani+kanj)…anj…ann
(i≠j)。
(以数k乘第j行加到第i行上,记作ri+krj)
三、行列式的计算
(一)行列式按行(列)展开定理
视频讲解
定理行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即
D=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin(i=1,2,…,n),
或D=a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj(j=1,2,…,n)。
推论行列式某一行(列)的元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即
ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn=0,i≠j,
或a1iA1j+a2iA2j+…+aniAnj=0,i≠j。
(二)递推法
利用行列式的性质或展开式找出递推关系式,再根据所得的递推关系式递推或迭代求出所给行列式的值,该方法一般适用于高阶且元素有规律的行列式的计算。
(三)归纳法
(1)第一数学归纳法:
第一步,验证n=1时,命题fn正确;
第二步,设n=k时,命题fn正确;
第三步,证明n=k+1时,命题fn正确。
(2)第二数学归纳法:
第一步,验证n=1和n=2时,命题fn都正确;
第二步,设n 第三步,证明n=k时,命题fn正确。
(四)公式法
1.二阶及三阶行列式的计算
二阶行列式的值a11a12a21a22=a11a22-a12a21;
三阶行列式的值a11a12a13a21a22a23a31a32a33=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a13a22a31-a12a21a33-a11a23a32。
2.上(下)三角形行列式的计算
上(下)三角形行列式的值等于主对角线元素的乘积。
a11a12…a1n
0a22…a2n

00…ann
=
a110…0
a21a22…0

an1an2…ann
=
∏ni=1aii。
3.有关副对角线的行列式的计算
a11a12…a1,n-1a1n
a21a22…a2,n-10

an-1,1an-1,2…00
an10…00=
00…0a1n
00…a2,n-1a2n

0an-1,2…an-1,n-1an-1,n
an1an2…an,n-1ann
=(-1)n(n-1)2a1na2,n-1…an1。
4.两类特殊的拉普拉斯展开式
设A为n阶方阵,B为m阶方阵,则
AO*B=
A*OB=A·B,
OAB*=
*ABO=(-1)mnA·B。
5.n阶范德蒙德行列式的计算
Vn=11…1x1x2…xnx21x22…x2n

xn-11
xn-12…xn-1n=
1x1x21…xn-11
1x2x22…xn-12

1xnx2n…xn-1n
=∏1≤j<i≤n(xi-xj),
显然,当且仅当x1,x2,…,xn两两不等时,Vn≠0。
【例1.1】(Ⅰ)在一个n阶行列式D中等于“0”的元素个数大于n2-n,则D=。
(Ⅱ)D=00…010
00…200

1 9990…00000…002 000
=。
【详解】(Ⅰ)n阶行列式D共有n2个元素,由于“0”元素的个数大于n2-n,所以非“0”元素的个数小于n(因为n2-(n2-n)=n)。由n阶行列式的概念可知,D的每一项均为0(因为每一项中至少有一个等于“0”的元素),故D=0。
(Ⅱ)D=(-1)r(n-1,n-2,…,1,n)a1,n-1a2,n-2…an-1,1ann=(-1)(n-1)(n-2)2a1,n-1a2,n-2…ann
n=2 000(-1)1 999×1 99821×2×3×…×1 999×2 000=-2 000!。
本题主要考查利用n阶行列式的概念求行列式的值。当所求行列式中有较多“0”元素时,应首先考虑利用行列式的概念与性质解题。
【例1.2】行列式D=ab0ba0101=0,则a,b应满足()
(A)a=b或a=-b。(B)a=2b且b≠0。
(C)b=2a且a≠0。(D)a=1,b=12。
【详解】方法一:D=ab0ba0101=a×a×1+b×0×1+0×b×0-0×a×1-b×b×1-a×0×0=a2-b2=0,于是a=b或a=-b。故选(A)。
方法二:先将行列式按第3列展开,再按对角线法则计算二阶行列式,得
D=ab0ba0101=1·abba=a2-b2=0,
于是a=b或a=-b。故选(A)。
本题主要考查三阶行列式的计算。此类题目比较简单,直接利用三阶行列式的计算公式即可(如方法一)。此外,也可以考虑将三阶行列式按某一行(列)展开,转化为二阶行列式进行计算(如方法二)。此时,尽可能选取非零元素较少的行(列)。
【例1.3】计算行列式0111202233034440。
【详解】为了避免出现分数的计算,先从行列式的元素中找一个“1”,再将该“1”所在的行或列其余元素全化为0。例如,我们选定第一行第二个“1”,将第一行其余元素化为0,再按照第一行展开得
0111202233034440=0100202233-30440-4=1×(-1)1+22223-3040-4=-2223-3040-4。
剩下的三阶行列式可以直接代公式计算,也可以再次展开,例如
原式=-2223-3040-4=-4223-3000-4=4423-3=-72。
这道题本身很简单,但却体现了计算低阶行列式的一般思路:二阶或三阶行列式,一般可以直接计算;高于三阶的行列式直接计算会有困难,可以先使用展开定理降阶之后再计算。展开之前,一般还需要通过行列式的性质对行列式进行变形,将某一行(或列)化到只有一个非零元的形式。该过程一般可以总结为:找“1”,化零,展开。
【例1.4】2-512
-37-14
5-927
4-612=。
【详解】四阶行列式可按行或列展开计算,也可利用行列式的性质对其进行化简,将某行或某列化为只有一个非零的元素,然后进行降阶计算。
2-512
-37-14
5-927
4-612=2-512
-1206
1103
2-100=1×(-1)1+3-126
113
2-10=-126
113
2-10,
对三阶行列式再进一步简化降阶计算
-126
113
2-10=326
313
0-10=-1×(-1)3+236
33=-9。
计算低阶行列式的一般思路:二阶或三阶行列式,一般可以直接计算;高于三阶的行列式或是直接计算有困难时,可以先使用展开定理降阶之后再计算。展开之前,一般还需要通过行列式的性质对行列式进行变形,将某一行(或列)化为只有一个非零元的形式(为了避免出现分式运算,一般需要在元素中找到一个“1”或“-1”,再把该“1”或“-1”所在的行列式的其他元素化为0)。该过程一般可以

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