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2021考研数学:概率论与数理统计专项辅导
考研数学用书2021-渐进式讲解-突出重点-不留盲点

 

商城价14.40 今日促销
定 价¥32.00
作 者中公教育研究生考试研究院
出版时间2020/3/1
出版社世界图书出版公司
ISBN9787519210748
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作 者:中公教育研究生考试研究院
出版社:世界图书出版公司
出版时间:2020/3/1
版 次:1
装 帧:平装
开  本:16开
ISBN:9787519210748
  商品介绍

    《中公版·2021考研数学:概率论与数理统计专项辅导》是针对参加2021考研数学考试的考生编写的一本专项图书,书中包含了考研数学大纲规定的概率论与数理统计的全部考点。
全书共分八章,每章包含六个模块。【学习提要】和【考试要求】简单分析了本章知识点与其他章节之间的联系以及考试大纲对各考点的具体要求。【本章知识框架图】再现了本章知识网络。【基础知识讲解】以浅显的角度切入,详细地讲解了本章涉及的基本概念、重要定理和性质,核心考点附有二维码,考生扫码可以听微课。【典型例题与方法技巧】对各考点涉及的题型做了细致的分类。【本章同步练习题】与【同步练习题答案解析】相配套,筛选了适量习题,供考生自测学习效果,个别题目附有二维码,考生扫码可听题目视频讲解。

  目录

第一章随机事件和概率
学习提要
考试要求
本章知识框架图
基础知识讲解
一、随机事件
二、随机事件的概率
三、事件的独立性
典型例题与方法技巧
一、随机事件
二、随机事件的概率
三、事件的独立性
本章同步练习题
一、选择题
二、填空题
三、解答题
同步练习题答案解析
第二章随机变量及其分布
学习提要
考试要求
本章知识框架图
基础知识讲解
一、随机变量分布函数
二、离散型随机变量
三、连续型随机变量
四、随机变量函数的概率分布
典型例题与方法技巧
一、随机变量分布函数
二、离散型随机变量
三、连续型随机变量
四、随机变量函数的概率分布
本章同步练习题
一、选择题
二、填空题
三、解答题
同步练习题答案解析
第三章多维随机变量及其分布
学习提要
考试要求
本章知识框架图
基础知识讲解
一、多维随机变量的相关概念及性质
二、二维离散型随机变量
三、二维连续型随机变量
四、随机变量的独立性
五、两个随机变量函数的分布
典型例题与方法技巧
一、多维随机变量的相关概念及性质
二、二维离散型随机变量
三、二维连续型随机变量
四、随机变量的独立性
五、两个随机变量函数的分布
本章同步练习题
一、选择题
二、填空题
三、解答题
同步练习题答案解析
第四章随机变量的数字特征
学习提要
考试要求
本章知识框架图
基础知识讲解
一、数学期望
二、方差
三、常见随机变量的数学期望和方差
四、协方差与相关系数
五、矩、协方差矩阵的相关概念
典型例题与方法技巧
一、数学期望
二、方差
三、常见随机变量的数学期望和方差
四、协方差与相关系数
本章同步练习题
一、选择题
二、填空题
三、解答题
同步练习题答案解析
第五章大数定律和中心极限定理
学习提要
考试要求
本章知识框架图
基础知识讲解
一、大数定律
二、中心极限定理
典型例题与方法技巧
一、大数定律
二、中心极限定理
本章同步练习题
一、选择题
二、填空题
三、解答题
同步练习题答案解析
第六章数理统计的基本概念
学习提要
考试要求
本章知识框架图
基础知识讲解
一、总体与样本
二、统计量
三、抽样分布
典型例题与方法技巧
一、总体与样本
二、统计量
三、抽样分布
本章同步练习题
一、选择题
二、填空题
三、解答题
同步练习题答案解析
第七章参数估计
学习提要
考试要求
本章知识框架图
基础知识讲解
一、点估计
二、区间估计(数一)
典型例题与方法技巧
一、点估计
二、区间估计(数一)
本章同步练习题
一、选择题
二、填空题
三、解答题
同步练习题答案解析
第八章假设检验(数一)
学习提要
考试要求
本章知识框架图
基础知识讲解
一、假设检验
二、正态总体的假设检验
典型例题与方法技巧
一、假设检验
二、正态总体的假设检验
本章同步练习题
一、选择题
二、填空题
三、解答题
同步练习题答案解析
 

  编辑推荐

    《中公版·2021考研数学:概率论与数理统计专项辅导》具有以下几大特色。
一、扫描二维码,与老师面对面。
本书在“基础知识讲解”部分针对个别核心考点附有二维码,“本章同步练习题”中个别题目也附有二维码,考生扫码即可观看相关考点和题目的视频讲解,考生告别无声读书的时代。
二、“渐进式”讲解;突出重点,不留盲点。
本书的“基础知识讲解”从浅显的角度切入,详细讲述了各章的基础知识,并为易混易错的考点设置了“注”,对其作进一步的解释。
三、扫码上自习,轻松又智能
购书享有研究生考试自习室多样增值服务,考生可利用碎片化时间,随时随地上自习,体验智能时代学习的快捷。

  文摘

本章为概率论的基础,在历年的考试中基本每年都会有所考查,题型以填空题与选择题居多,计算题、证明题等高分值的题较少。考试内容包括随机事件、样本空间、事件的关系与运算,它们是计算各种事件概率的基本前提;完备事件组、概率的概念、概率的基本性质、古典型概率、几何型概率、条件概率、概率的基本公式,是计算概率的基本方法;事件的独立性、独立重复试验是重要的概念。
1了解样本空间(基本事件空间)的概念,理解随机事件的概念,掌握事件的关系及运算。
2理解概率、条件概率的概念,掌握概率的基本性质,会计算古典型概率和几何型概率,掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯(Bayes)公式等。
3理解事件独立性的概念,掌握用事件独立性进行概率计算;理解独立重复试验的概念,掌握计算有关事件概率的方法。
一、随机事件
(一)随机事件的相关概念
1随机试验的概念
视频讲解具有以下三个特点的试验称为随机试验:
(1)可以在相同的条件下重复地进行。
(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果。
(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。
注:本书中以后提到的试验都是随机试验。本书通过随机试验来研究随机现象。
2样本空间与样本点
(1)样本空间(基本事件空间)的概念:对于随机试验,尽管在每次试验之前不能预知试验的结果,但试验的所有可能结果组成的集合是已知的。将随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间(基本事件空间),记为Ω。
(2)样本点(基本事件)的概念:样本空间的元素,即E的每个结果,称为样本点或者基本事件。
例如:试验1——抛一枚硬币,观察正面H、反面T出现的情况。它的样本空间Ω:{H,T}。
试验2——记录某地一昼夜的最高温度和最低温度。它的样本空间Ω:{(x,y)T0≤x≤y≤T1},这里x表示最低温度(℃),y表示最高温度(℃),并设这一地区的温度不会小于T0,也不会大于T1。
视频讲解3随机事件
样本空间的子集,即试验满足某些条件的可能结果称为随机事件,简称事件,常用大写英文字母A,B,C等表示,有时用{……}表示事件,大括号中用文字或式子描述事件的内容。
在每次试验中,当且仅当事件中的一个样本点出现时,称这个事件发生。由一个样本点组成的单点集称为基本事件;由多于一个样本点组成的集合称为复合事件。
显然,样本空间Ω和空集都是Ω的子集,从而也是事件,它们分别称为必然事件——每次试验中一定发生的事件;不可能事件——每次试验中都不可能发生的事件。
(二)事件的关系及运算
1包含
若事件A发生必然导致事件B发生,即A为B的子集,则称事件B包含事件A,也称A为B的子事件,记作AB,图1-1(称为文氏图)表示了事件的包含关系,显然,对任何事件A有ABΩ。
2相等
若两个事件A,B满足AB且BA,则称A与B相等,记作A=B。此时A与B包含的样本点完全相同,即表示同一个事件。
3和(并)
事件A,B中至少有一个发生的事件称为A与B的和(并),记作A∪B(或A+B),即
A∪B={ωω∈A或ω∈B},
图1-2(阴影部分)表示了A与B的和事件。
类似有n个事件A1,A2,…,An的和∪ni=1Ai,称∪∞i=1Ai为可列个事件A1,A2,…,An,…的和事件。
4积(交)
事件A与B同时发生的事件称为A与B的积(交),记作A∩B(或AB),即
A∩B={ωω∈A且ω∈B},
图1-3(阴影部分)表示了A与B的积事件。
类似地,有n个事件A1,A2,…,An的积∩ni=1Ai,称∩∞i=1Ai为可列个事件A1,A2,…,An,…的积事件。
5差
事件A发生但B不发生的事件称为A与B的差,记作A-B,即
A-B={ωω∈A但ωB},
图1-4(阴影部分)表示了A与B的差事件。
6互不相容(互斥)
若事件A与B不能同时发生,即A∩B=,则称A与B互不相容(或互斥),记作A∩B=或AB=,图1-5表示了A,B的互斥关系。
7对立(互逆)
若事件A,B不能同时发生,且必有一个发生,即A,B满足AB=且A∪B=Ω,则称A与B互为对立事件(或互逆事件),记作A=B或B=A,即A的对立事件A就是A不发生的事件:
A={ωωA}=Ω-A,
图1-6(阴影部分)表示了A的对立事件为B。
8完备事件组
若有限个或可列个事件A1,A2,…,An,…满足AiAj=(i≠j),且∪∞i=1Ai=Ω,则称A1,A2,…,An,…构成一个完备事件组。
(三)事件运算的性质
1交换律
A∪B=B∪A,AB=BA。
2结合律
(A∪B)∪C=A∪(B∪C)=A∪B∪C,
(AB)C=A(BC)=ABC。
3分配律
A(B∪C)=AB∪AC,
A∪(BC)=(A∪B)(A∪C),
A(B-C)=AB-AC,
A(∪ni=1Ai)=∪ni=1AAi。
4对偶律(德摩根律)
A∪B=A∩B,A∩B=A∪B。
5吸收律
A∩(A∪B)=A,A∪(A∩B)=A。
6双重否定律
A=A。
7差积转换律
A-B=AB。
二、随机事件的概率
(一)概率的相关概念
1频率的概念
在相同的条件下,进行了n次试验,在这n次试验中,事件A发生的次数nA称为事件A发生的频数。比值nAn称为事件A发生的频率,并记成fn(A)。
频率具有下述基本性质:
①0≤fn(A)≤1;
②fn(Ω)=1;
③若A1,A2,…,Ak是两两互不相容的事件,则
fn(A1∪A2∪…∪Ak)=fn(A1)+fn(A2)+…+fn(Ak)。
由于事件A发生的频率是它发生的次数与试验次数之比,其大小表示A发生的频繁程度。频率大,事件A的发生就频繁,这意味着事件A在一次试验中发生的可能性就大。反之亦然。
2概率的概念
视频讲解设E是随机试验,Ω是它的样本空间。对于E的每一事件A赋予一个实数,记为P(A),称为事件A的概率。如果集合函数P(·)满足下列条件:
①非负性:对于每一个事件A,有P(A)≥0;
②规范性:对于必然事件Ω,有P(Ω)=1;
③可列可知性:设A1,A2,…是两两互不相容的事件,即对于AiAj=,i≠j,i,j=1,2,…,有
P(A1∪A2∪…)=P(A1)+P(A2)+…。
(二)概率的性质
1有界性
对于不可能事件,P()=0;对于必然事件Ω,P(Ω)=1。
2有限可加性
若A1,A2,…,An两两互斥,则有P(∪ni=1Ai)=∑ni=1P(Ai)。
3减法公式
P(A-B)=P(A)-P(AB)。
特别地,当BA时,有
P(A-B)=P(A)-P(B),从而P(B)≤P(A)。
4加法公式
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)。
5广义加法公式
P(∪ni=1Ai)=∑ni=1P(Ai)-∑1≤i 特别地,有
P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)。
6求逆公式
P(A)=1-P(A)。
(三)概率的类型
1古典型概率
(1)古典型概率随机试验特征:基本事件等可能,样本空间由有限个元素或基本事件组成。
(2)古典型概率计算公式:若事件A包含k个基本事件,即A={ei1}∪{ei2}∪…∪{eik},这里i1,i2,…,ik是1,2,…,n中某k个不同的数。则有
P(A)=∑kj=1P({eij})=kn=A包含的基本事件数Ω中基本事件的总数。
2几何型概率
(1)几何型概率随机试验特征:基本事件等可能,样本空间含有的基本事件有无穷多个。
(2)几何概率计算公式:若试验E的样本空间Ω为几何空间中的一个有界区域(这个区域可以是一维、二维、三维,甚至n维的),且Ω中每个样本点,即基本事件出现的可能性相同,则称试验E为几何概型,此时,事件A的概率定义为
P(A)=A的度量(长度、面积、体积)Ω的度量(长度、面积、体积)。
3条件概率
视频讲解(1)条件概率的概念:设A,B是两个事件,且P(A)>0,称
P(BA)=P(AB)P(A)
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。
条件概率P(·A)符合概率定义中的三个条件,即
①非负性:对于每一事件B,有P(BA)≥0;
②规范性:对于必然事件Ω,有P(ΩA)=1;
③可列可加性:设B1,B2,…是两两互不相容的事件,则有
P(∪∞i=1BiA)=∑∞i=1P(BiA)。
(2)乘法公式:设P(A)>0,则有P(AB)=P(BA)P(A)。
(3)全概率公式:设试验E的样本空间为Ω,A为E的事件,B1,B2,…,Bn为Ω的一个划分,且P(Bi)>0,i=1,2,…,n,则
P(A)=P(AB1)P(B1)+P(AB2)P(B2)+…+P(ABn)P(Bn)。
(4)贝叶斯(Bayes)公式:设试验E的样本空间为Ω。A为E的事件,B1,B2,…,Bn为Ω的一个划分,且P(A)>0,P(Bi)>0,i=1,2,…,n,则
P(BiA)=P(ABi)P(Bi)∑nj=1P(ABj)P(Bj),i=1,2,…,n。
三、事件的独立性
(一)事件独立性的概念
(1)对于两个事件A,B,如果P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与B相互独立。
(2)对于n个事件A1,A2,…,An,如果其中任意两个事件相互独立,即对任意的1≤i P(AiAj)=P(Ai)P(Aj),
则称A1,A2,…,An两两独立。
(3)对于n个事件A1,A2,…,An,如果其中任意k(2≤k≤n)个事件Ai1,Ai2,…,Aik,均有
P(Ai1Ai2…Aik)=P(Ai1)P(Ai2)…P(Aik),1≤i1 则称A1,A2,…,An相互独立。
(4)对于事件序列{An}(n≥1),如果对任意正整数n(n≥2),事件A1,A2,…,An相互独立,则称事件序列{An}(n≥1)相互独立。
(二)独立事件的性质
(1)若A与B相互独立,则A与B,A与B,A与B也相互独立。
(2)若A1,A2,…,An相互独立,则其中任意m(2≤m≤n)个事件也相互独立。
(3)若A1,A2,…,An相互独立,则
P(A1A2…An)=∏ni=1P(Ai),
P(A1∪A2∪…∪An)=1-∏ni=1P(Ai)。
(三)独立重复试验的概念
(1)如果试验E1和E2分别产生的任意两个事件A1和A2都相互独立,则称试验E1,E2相互独立,即一个试验结果的发生不影响另一个试验结果的发生。
(2)对于n个试验E1,E2,…,En,如果它们分别产生的事件A1,A2,…,An都相互独立,则称n个试验E1,E2,…,En相互独立。
(四)伯努利概型
1伯努利概型只考虑两个对立的结果
A(成功)和A(失败)的试验称为伯努利概型,将一个伯努利试验独立重复进行n次就称为一个n重(次)伯努利试验,或n重伯努利概型,有时也简称为伯努利概型。在这里,“独立”是指试验之间相互独立,“重复”是指每次试验中A发生的概率保持不变。
2伯努利概型概率计算公式
在n重伯努利概型中,设P(A)=p,则n次试验中A发生k次的概率为
Pn(k)=Cknpk(1-p)n-k,k=0,1,…,n。
一、随机事件
【例11】写出下列试验的样本空间:
(Ⅰ)掷一枚骰子,观察朝上一面的点数;
(Ⅱ)观察某电话交换

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